Что такое геометрическая прогрессия
ОГЭ математика: геометрическая прогрессия часто пугает девятиклассников, но определение звучит просто. Последовательность называют геометрической, если отношение любого члена к предыдущему постоянно. Это число обозначают q и зовут знаменателем прогрессии. Формула n-го члена выглядит так: an = a1·qn-1. При решении задач важно помнить знак q, ведь отрицательное значение меняет чередование знаков членов.
Для суммы первых n членов используют выражение Sn = a1(qn-1)/(q-1), когда q ≠ 1. Если |q| < 1 и число членов стремится к бесконечности, работает компактная формула S∞ = a1/(1-q). Эти связки формул покрывают почти все школьные задачи. Запомнив их, ученик уже выигрывает половину времени на экзамене.
Смысл геометрической прогрессии можно увидеть на простых примерах. Бактериальная колония удваивается каждый час: a1=100, q=2. Через три часа получаем 100·22=400; через шесть часов количество вырастет до 100·25=3200. Чёткая модель помогает понять рост, а заодно тренирует навыки быстрого возведения в степень.
ОГЭ математика: геометрическая прогрессия на экзамене
В КИМах встречаются три классических типа заданий. Первый — нужно найти конкретный член по номеру. Второй — вычислить сумму от первого до n-го члена. Третий — определить параметры прогрессии по частичным данным, например, известны a2 и a5. Иногда авторы маскируют прогрессию под текстовую задачу о вкладе, скидке или биологии. Однако ядро остаётся тем же: ищем q или a1, подставляем значения, считаем.
Формулировка может казаться громоздкой, но задача сводится к одной из трёх схем. Поэтому полезно сразу определить, что требуется: отдельный член, сумма или параметры. После этого остаётся правильная подстановка. Главное — проверять, не равен ли q единице. Если равен, последовательность уже не геометрическая, а постоянная, и тогда применяют другие соотношения.
Практика показывает, что задания на прогрессию входят в первую часть работы. За них дают базовые баллы, которые влияют на итоговую оценку. Умение быстро распознавать тип задачи значительно повышает шанс получить «пятёрку».
Ключевые формулы и как ими пользоваться
Держите краткий чек-лист перед подготовкой:
- an = a1·qn-1
- an = ak·qn-k — удобно, когда дан не первый член
- Sn = a1(qn-1)/(q-1)
- S∞ = a1/(1-q), если |q| < 1
Чтобы не ошибаться, выполняйте три шага. Сначала выпишите все известные величины. Далее составьте уравнение по формуле. Наконец, аккуратно вычислите степень и проверьте знак. Пошаговая запись убережёт от потери баллов из-за невнимательности.
Например, известны a3 = 54 и q = 3. Нужно найти a7. Применяем вторую строку чек-листа: a7 = 54·34 = 54·81 = 4374. Все действия умещаются в одну строку, и риск ошибки минимален.
Распространённые ошибки девятиклассников
Чаще всего школьники путают знаменатель с разностью арифметической прогрессии. Обозначения похожи, но смысл разный. Вторая типовая ошибка — забыть, что q может быть отрицательным. Из-за этого меняется знак каждого второго члена, и итог выходит неверным.
Некоторые пытаются сложить дроби, не приводя к общему знаменателю, и теряют минуты драгоценного времени. Ещё одна ловушка — округление промежуточных результатов. В заданиях с целыми числами округление не нужно, достаточно точного счёта.
Наконец, часть учащихся подставляет q = 1 в формулу суммы и получает ноль в знаменателе. Достаточно вспомнить: при q = 1 члены все одинаковы, сумма равна n·a1. Простое правило спасает баллы.
Три стратегии решения задач
Первая стратегия — «от номера к значению». Сначала выражаем нужный член через первый и q. Подходит, когда дан a1. Вторая — «отношение двух членов». Пользуемся дробью an/ak = qn-k, если известны два не соседних члена. Третья — «через сумму». Когда дана сумма и ещё один член, составляем систему из двух уравнений: одно для суммы, второе для отношения членов. Система решается быстро, если правильно выделить неизвестные.
Важно тренироваться на каждом типе отдельно. Мозг запоминает алгоритм и экономит время под стрессом экзамена. Тетрадь с краткими конспектами стратегий поможет восстановить порядок действий даже после долгого перерыва.
Не забывайте проверять найденные значения. Подставьте результат обратно в исходное условие. Эта короткая проверка часто спасает от обидных округлых нулей в протоколе.
Практика: пример базовой задачи
Условие: первый член равен 5, знаменатель 2. Найдите сумму первых шести членов. Пошаговый разбор показывает, как применять формулы на ОГЭ.
1. Записываем данные: a1=5, q=2, n=6.
2. Используем формулу суммы: S6=5(26-1)/(2-1).
3. Вычисляем степень: 26=64.
4. Подставляем: S6=5(64-1)/1=5·63=315.
Ответ легко проверить, если выписать все шесть членов: 5, 10, 20, 40, 80, 160. Слагаем их и получаем те же 315. Сравнение подтверждает правильность решения. На экзамене выписывать всю последовательность не обязательно, но дома такая проверка укрепляет уверенность.
Продвинутый уровень: смешанные задачи
Иногда геометрическая прогрессия сочетается с арифметической или вписывается в геометрический сюжет. Например, стороны прямоугольника образуют геометрическую прогрессию, а периметр известен. Нужно найти площадь. Сначала выражаем стороны через a и q: a, aq, aq2. Периметр равен a(1+q+q2)·2. Отсюда находим a, затем умножаем первую и третью стороны для площади.
Другой пример: сумма трёх подряд идущих членов равна 14, а их произведение 64. Решаем систему: a+aq+aq2=14 и a·aq·aq2=a3q3=64. Из второго уравнения получаем aq=4. Подставляем во первое: 4(1+q+q2)=14. Полученное квадратное уравнение даёт два возможных q, каждое ведёт к своему набору членов. Такие задачи требуют аккуратной алгебры, но алгоритм строится на той же базе.
Прорешав несколько моделируемых примеров, ученик вырабатывает чувство масштаба чисел и быстро замечает рациональные корни. Это умение особенно ценно при ограниченном времени.
Как тренироваться эффективно
Составьте график: два дня в неделю решайте короткие тесты, третий посвящайте разбору ошибок. Чередование теории и практики удерживает свежесть понимания. Используйте открытый банк заданий ФИПИ: там формулировки максимально приближены к реальному экзамену.
Полезно проговаривать ход решения вслух. Такой приём выявляет пробелы, которые незаметны на письме. Записывайте каждый просчёт и возвращайтесь к списку через неделю — повторение закрепляет навык.
Наконец, симулируйте условия экзамена. Отведите 10 минут на группу задач по прогрессии и работайте без подсказок. Таймер дисциплинирует, а повторение убирает страх перед настоящим ОГЭ. При системной тренировке геометрическая прогрессия перестаёт быть загадкой и превращается в надёжный источник лёгких баллов.