ОГЭ математика: геометрическая прогрессия

Зачем разбираться в теме именно сейчас

ОГЭ математика: геометрическая прогрессия часто вызывает больше вопросов, чем арифметическая. На экзамене встречаются задачи на n-й член, сумму и признаки знака. Каждая из них может стоить два-три первичных балла. Если ученик теряет эти баллы, то рискует опуститься на целый уровень отметки. При этом формулы просты, а проверка занимает меньше минуты. Значит, выгодно освоить тему заранее и освободить время на сложную стереометрию. Кроме того, повторение прогрессии тренирует алгебраические навыки: работу со степенью, фактором и дробью. Эти навыки пригодятся в заданиях с уравнениями и неравенствами.

Системная подготовка к разделу повышает уверенность. Ученик знает: даже если геометрическая прогрессия будет подана нестандартно, он всё равно быстро увидит решающий коэффициент q. Такое спокойствие снижает риск потратить лишние минуты и запутаться в вычислениях.

База понятий и обозначений

Прежде чем решать примеры, полезно закрепить короткий словарь.

a₁ — первый член последовательности.
q — знаменатель, то есть множитель перехода.
a_n — n-й член, который ищем по формуле.
S_n — сумма первых n членов.

Определение звучит так: последовательность называют геометрической, если отношение любого члена к предыдущему постоянно и равно q. Если q больше единицы, последовательность растёт. При 0<q<1 она убывает, а при q отрицательном знаки чередуются. Нулевое q почти не встречается в школьных номерах, но знать исключение полезно. Отдельно стоит помнить: a₁ всегда влияет на каждый последующий член, поэтому ошибка в первой величине портит весь расчёт. Чтобы не забыть это влияние, многие ученики выписывают формулу полностью, даже когда a₁=1.

ОГЭ математика: геометрическая прогрессия в формуле n-го члена

Главная формула выглядит так: a_n=a₁·q^n-1. Её удобно применять прямым и обратным ходом. Если дан a₁, q и номер n, то подставляем и получаем результат за одну строку. Если же требуется найти q, то используем отношение a_n/a_k=q^n-k. Здесь важно держать в памяти знак q, иначе ответ может отличаться только на минус и будет засчитан как неверный. Часто авторы дают a₂ и a₅. Тогда q вычисляем через корень третьей степени: q=(a₅/a₂)^1/3. Ученики пугаются корня, но достаточно помнить, что степень и корень — взаимные операции. После нахождения q легко найти любой другой член.

Долгая запись с показателями раздражает. Поэтому полезно заранее тренироваться с калькулятором: вводить степенную форму без ошибок. На экзамене допускается простенький аппарат, однако степенная кнопка там есть.

Сумма членов: быстрые вычисления

Сумма первых n членов обозначается S_n и вычисляется формулой S_n=a₁(qⁿ−1)/(q−1). Её легко запомнить, если представить телескопическую разность. В реальных задачах чаще нужно найти сумму десяти или двенадцати членов. Подстановка даёт дробь, но калькулятор быстро упрощает. Если q находится между минус одним и одним, используют обратную запись: S_n=a₁(1−qⁿ)/(1−q). Так мы избегаем отрицательного знаменателя. Учителя советуют сразу писать знаменатель положительным, чтобы снизить риск случайного минуса.

Иногда встречается задача на бесконечную сумму. В ОГЭ она подаётся как «найдите предел при n→∞». Если |q|<1, то qⁿ стремится к нулю, и сумма равна a₁/(1−q). Школьник экономит время: вместо десяти действий — одна формула.

Знаки, дроби, нули: частые ловушки

Самая типичная ошибка — пропущенный минус в q. Если знаменатель отрицательный, знаки чередуются, и каждый нечётный член отрицателен. Путаница приводит к ошибке в сумме: отрицательные величины сокращают результат. Вторая ловушка — дробное q. При q=1/2 прогрессия убывает, и число быстро приближается к нулю. Ученик иногда округляет слишком рано, теряя точность. На ОГЭ лучше оставлять дроби до финального шага. Третья неприятность — нулевой член внутри последовательности. Он возможен, когда a₁=0 или q=0. В таком случае следующий элемент остаётся нулём, а сумма фиксируется. Экзаменаторы редко дают эту конфигурацию, но задача может встретиться в демонстрационном варианте.

Чтобы избежать ловушек, полезно в черновике выписать первые два-три элемента. Уже по ним видно знаки и общий тренд.

Задачи из открытого банка ФИПИ

Рассмотрим типовой номер: «a₁=3, q=−2, найдите a₅». Используем формулу: a₅=3·(−2)⁴=3·16=48. Минус исчез, потому что степень чётная. Второй пример: «a₂=6, a₅=48, найдите q». Получаем q=(48/6)^1/3=2. Далее a₁=a₂/q=3. Всё решилось за четыре строки. Задача на сумму: «a₁=5, q=0,5, n=6». Считаем S₆=5(0,5⁶−1)/(0,5−1)=5(1−0,5⁶)/(1−0,5)=10(1−0,015625)=9,84375. Округление до сотых даёт 9,84.

Открытый банк полезен тем, что повторяет реальную логику составителей. Если решить двадцать таких заданий, сложные варианты начнут казаться знакомыми. Важно не просто получить ответ, а записать обоснование. Проверяющий ставит балл только за правильный итог и корректное объяснение.

Мини-план подготовки за неделю

Когда до экзамена остались считанные дни, действуем точечно.

День 1: повторяем формулы и выписываем их на карточку.
День 2: решаем пять задач на a_n с разными q.
День 3: тренируем сумму для q>1 и 0<q<1.
День 4: берём задания с отрицательным q и проверяем знаки.
День 5: открытый банк, блок «геометрическая прогрессия», десять задач подряд.
День 6: пишем мини-контрольную без подсказок, время 25 минут.
День 7: анализируем ошибки и повторяем слабые места.

Такой план занимает около часа в день. Он помогает сохранить свежесть головы и не перегрузиться. Главное — проверять каждую задачу сразу, а не откладывать обратную связь на конец недели.

Проверка решения и оформление ответа

Экзамен оценивается быстро, поэтому ответы читают по шаблону. Чтобы не потерять баллы, придерживайтесь простых правил:

Прописывайте номер формулы или выводите её шаг за шагом.
Не сокращайте промежуточные вычисления, если они содержат знак минус.
Округляйте только в финальной строке и указывайте уровень точности.
Проверяйте ответ обратной подстановкой: подставьте найденные a₁ и q обратно.
Если результат явно нецелый, оставьте дробь, это допускается.

Последняя минута должна уйти на чтение готового листа. Найдите случайные пропуски знаков и индексов. Небольшое исправление может спасти важный балл. Следуя этим советам, вы снизите риск формальной ошибки и покажете, что владеете темой глубже, чем требует минимум.