Зачем знать свойства степеней на ОГЭ-мат без паники
Фраза «ОГЭ-мат без паники» появилась не случайно. Большинство ошибок на экзамене связано не с трудными формулами, а с незнанием базовых свойств степеней. Ученик путается, тратит время, теряет баллы. Разобравшись в теме, вы экономите минуты и обретаете уверенность. Понимание степеней помогает упростить алгебраические выражения, сократить дроби и быстро проверить ответ. Это фундамент, без которого невозможно двигаться к более сложным темам, например, логарифмам в старших классах. Поэтому начнём с самого простого и постепенно перейдём к тонкостям, актуальным именно для ОГЭ.
Понятие степени и язык показателей
Степень — это краткая запись многократного умножения одинакового множителя. Основание a умножается на себя n раз, что обозначается an. Число n называют показателем. На ОГЭ встречаются натуральные, нулевой, отрицательные и даже дробные показатели. Нужно помнить, что степень не меняет знак основания автоматически. Квадрат отрицательного числа даёт положительный результат, если минус стоит в скобках: (−3)2 = 9, тогда как −32 = −9. Такая деталь часто становится ловушкой в задании 9.
Ещё одно важное понятие — равные основания. Если an = am и a ≠ 0, то n = m. Это свойство помогает при сравнении показателей или решении уравнений со степенями. Достаточно привести всё к одному основанию и сделать вывод о показателях. Простейший пример: 2x = 8; заменяем 8 на 23 и получаем x = 3.
Шесть опорных свойств, которые нужно выучить
Ниже — полный набор правил, без которых не обойтись. Выучите их как таблицу умножения.
- am · an = am+n — перемножаем, показатели складываем.
- am : an = am−n, основание не должно быть нулём.
- (am)n = amn — степень степени.
- (ab)n = anbn — показателен каждый множитель.
- (a/b)n = an/bn, b ≠ 0.
- a0 = 1 при a ≠ 0, а 00 не определено.
Эти формулы работают в обоих направлениях. Можно упрощать выражение или, наоборот, раскладывать его. Например, 57 : 510 = 5-3. Запись с отрицательным показателем часто пугает, хотя переводится в дробь: 5-3 = 1/53.
Отрицательные и нулевые показатели: не бойтесь минуса
Отрицательный показатель означает обратную величину. Формула проста: a-n = 1/an, где n > 0. Экзаменаторы любят спрятать минус в одной части дроби, а ученик пропускает знак и получает ошибку. Совет: сразу переписывайте отрицательную степень как дробь, это убирает лишние действия. Нулевой показатель даёт единицу для любого ненулевого основания. Часто встречается выражение вида 35 · 3-5; ответ равен 1. Пока вы решаете, держите два правила в голове: «минус — это переворот, ноль — это единица».
Также полезно помнить, что при преобразовании дробей минус можно «перекидывать» из показателя в знаменатель и обратно. Пример: 2-3/5-3 = (1/23)/(1/53) = (53)/(23).
Дробные показатели и связь со знаменателем корня
Дробный показатель превращает степень в корень. Формула am/n = n√am или, что то же, (n√a)m. На ОГЭ встречается показатель 1/2, который равносилен квадратному корню. Например, 161/2 = √16 = 4. Неправильно сначала возводить число в степень 1/2, а затем удваивать показатель при умножении; порядок действий важен. Запомните лайфхак: числитель m отвечает за обычную степень, знаменатель n — за корень. Если выражение 272/3 кажется сложным, разбейте его: кубический корень из 27 равен 3, затем возведите в квадрат, получите 9. Такой пошаговый подход спасает от вычислительных ошибок.
Часто дробный показатель можно убрать, если заметить известный корень. 813/4 быстро превращается в (√√81)3; двойной корень даёт 3, а потом идёт куб, получаем 27.
Типичные ловушки и как их обойти
Экзаменаторы любят проверять внимательность. Первая ловушка — отсутствие скобок. −24 не равно (−2)4. Вторая — замена основания. 9 — это 32, но 27 — уже 33. Неправильный выбор основания ведёт к неверному сокращению показателей. Третья ловушка — пропуск единицы в ответе, когда выражение сводится к a0. Запомните: единица может скрываться в самых объёмных дробях, если суммы показателей дают нуль.
Четвёртая ошибка — стремление «раскрыть» отрицательную степень, умножая минус на показатель. Это неверно: минус относится к дроби, а не к основанию. Наконец, пятая ловушка — смешивание действий с корнями и степенями. Символ √ — это степень 1/2, а не умножение на две. Чёткое понимание этих ловушек сокращает число проверок и финансовых затрат на пересдачу.
Практика: решаем задание из открытого банка
Возьмём пример: упростите выражение (24 · 4-1)/(81/3). Сначала приводим всё к основанию 2. Получаем (24 · (22)-1)/(23)1/3. Преобразуем: (24 · 2-2)/21. Числитель даёт 22, затем делим на 21, получаем 21. Ответ — 2. Если бы ученик не заметил одинаковое основание, пришлось бы работать с громоздкими числами. Подобный метод экономит минуты и снижает риск арифметической ошибки.
Теперь усложним: вычислите (81-1/4 · 93/2)/32. Переведём всё в основание 3. 81 = 34, поэтому 81-1/4 = 3-1. Число 9 равно 32, значит 93/2 = 33. Числитель становится 3-1+3 = 32. Делим на 32, получаем 30 = 1. Методика одинакова: приводим к одному основанию, складываем показатели, вычитаем при делении.
Тренируемся системно и экономим время
Ключ к высокому баллу — регулярная отработка навыков: короткие упражнения каждый день лучше, чем редкие марафоны. Начните с простых примеров, постепенно увеличивайте сложность. Используйте таймер: на типовую задачу 9 отводите не больше двух минут, а задачи 3–4 можно решать секунд за сорок. Анализируйте ошибки сразу, пока свежа память; это вдвое ускоряет прогресс.
Если нужна структура и обратная связь, поможет онлайн школа. На специализированной платформе есть интерактивные тренажёры, живые вебинары и проверка домашних работ. Например, курс подготовка к ОГЭ включает сотни заданий в формате ФИПИ, подробные разборы и автоматический учёт времени. Такой подход дисциплинирует и показывает реальную динамику.
Финишная шлифовка: что повторить за неделю до экзамена
За семь дней до ОГЭ распечатайте список свойств степеней и повесьте на стену. Утром взгляд падает на формулы, вечером вы повторяете их устно. Решайте по двадцать коротких примеров на сложение и вычитание показателей, по десять примеров на отрицательные степени и пять примеров на дробные показатели. Проверяйте себя устно, чтобы мышление стало автоматическим.
В предпоследний день откройте три варианта прошлых лет и выполните только задания, где встречаются степени. Зафиксируйте время: если вышли за лимит, сократите этап анализа. В день экзамена достаточно проговорить правило «минус — дробь, ноль — единица» и вспомнить, как заменять сложные числа на степени двойки или тройки. Мозг будет спокоен, а рука запишет верный ответ без паники.