Относительная погрешность: определение без страха
На экзамене часто спрашивают про точность измерений. Поэтому важно понимать, что такое относительная погрешность. Это безразмерная величина. Её получают делением абсолютной погрешности на истинное или принятое значение. Записывают обычно как ε = Δx⁄x. Умножив результат на сто, получают ошибку в процентах. Значение показывает, насколько далеко измерение ушло от истины. Чем меньше число, тем точнее результат. На ОГЭ требуют переводить долю в проценты. Не путайте относительную погрешность с погрешностью округления. Там другой смысл. В формуле Δx всегда берётся модуль. Знак ± указывают отдельно. Важно помнить: ε не может быть отрицательной.
Абсолютная погрешность и её практический смысл
Абсолютная погрешность обозначают Δx. Она равна разности полученного и истинного значений. Единицы измерения сохраняются. Пример: реальная длина стержня 20,0 см. Измеренный результат 20,3 см. Тогда Δx = 0,3 см. Относительная погрешность будет 0,3 см / 20,0 см = 0,015. В процентах это 1,5 %. Абсолютную погрешность иногда дают заранее, например «масса измерена с точностью ±2 г». Тогда нужно лишь подставить в формулу. На практике абсолютная погрешность задаёт допустимый коридор. Если Δx = 0,3 см, то реальные значения лежат между 19,7 см и 20,3 см. Задачи ОГЭ часто требуют именно такой интервал.
Проценты: мост между темой погрешностей и финансами
Проценты встречаются в разных модулях работы. При вычислении относительной погрешности проценты помогают быстро оценить значимость. Если ε = 0,025, сразу видно, что ошибка равна 2,5 %. Это удобно при технических нормативах. В экономических задачах проценты показывают рост или снижение цены. Поэтому тренируйтесь переводить дроби в проценты. Запомните правило: умножаем на 100 и добавляем знак процента. Обратная операция так же важна. При встрече с фразой «увеличилось на 8 %» ищите коэффициент 1,08. Эти навыки экономят время на экзамене. Главное не путать процентное изменение с долей.
Приближения, округления и знаки после запятой
ОГЭ даёт конкретный порядок округления. Обычно ответ округляют до десятых или сотых. Первым делом смотрят на следующий разряд. Если он 5 или больше, предыдущий разряд увеличивают. Иначе оставляют. Округляя, обязательно пишут тот же порядок точности в погрешности. Пример: масса равна 12,36 кг, абсолютная погрешность 0,08 кг. После округления до десятых получаем 12,4 кг. Погрешность округляют до тех же десятых: 0,1 кг. Становится видно, что относительная ошибка увеличилась. Поэтому округление всегда ухудшает точность. В задачах с деньгами копейки играют роль сотых. Там правила те же, но валютный знак добавляет формальности.
Методика решения задач о погрешностях
Шаг первый: выпишите данные. Обязательно укажите единицы. Шаг второй: определите, какую погрешность ищут. Если нужно ε, сразу найдите Δx. Шаг третий: подставьте числа. Сначала считайте дробь, потом переходите к процентам. На четвёртом шаге проверьте порядок округления. Частая ошибка — округлить слишком рано. Лучше держать дополнительные знаки до финала. Шаг пятый: запишите ответ с пояснением, например «относительная погрешность равна 4 %». Если задача составная, проверяйте, не использовали ли вы погрешность как точное число. Помните: все промежуточные ответы должны оставаться в «сыром» виде до конца. Такой алгоритм снижает стресс.
Типовые ошибки и способы их избежать
- Путают абсолютную и относительную погрешность. Решение: выписывать формулы.
- Округляют до ответа, а потом делят. Ошибка искажает итог.
- Забывают переводить проценты в доли при вычислениях. Проверяйте коэффициенты.
- Не указывают единицы в окончательном ответе. Экзаменатор снижает балл.
- Используют разные знаки округления для величины и её погрешности. Нужно одинаково.
- Считают, что значение с меньшим числом десятичных знаков точнее. На самом деле наоборот.
- Просто списывают формулу без понимания. Риск возрастает под давлением времени.
Проработайте список заранее. Тогда вероятность ошибки заметно упадёт.
Тренировочные задания с быстрым самопроверочным ключом
Задание 1. Длина доски измерена как 150,2 см при истинной 149,8 см. Найдите ε в процентах. Правильный ответ: 0,27 %
Задание 2. Температуру за окном определили как −4 °C с точностью ±1 °C. Укажите интервал. Итог: от −5 °C до −3 °C.
Задание 3. Масса пакета 940 г. Абсолютная погрешность 15 г. Вычислите относительную. Итог: 1,6 %.
Задание 4. После округления до сотых число стало 3,57. Укажите возможный диапазон исходного. Диапазон: от 3,565 до 3,575.
Решайте задачи таймером. Временная норма — не более трёх минут на пункт. Сразу сверяйтесь с ключом. Так мозг запоминает проверочную схему. Регулярная практика важнее редких марафонов.
Полезные ресурсы для дальнейшего изучения
Книги. Советую справочник Л.И. Звавич «Математика для поступающих». Там много примеров. Сайты. На портале ФИПИ доступны открытые банки заданий. Там берите задачи из разделов «Числа и вычисления» и «Реальная математика». Курсы. Удобно готовиться в онлайн-формате. Например, курс подготовки к ОГЭ на https://el-ed.ru/oge/ даёт видео, тесты и обратную связь. Каналы. На YouTube ищите серии «ОГЭ за 15 минут». Тренироваться нужно разнообразно. Читайте, смотрите, решайте. Тогда тема погрешностей станет простой.