Геометрическая прогрессия: базовые понятия
На ОГЭ часто встречается тема «геометрическая прогрессия», поэтому начинать стоит с её чёткого определения. Последовательность называют геометрической, если каждое следующее число получают умножением предыдущего на постоянный множитель, который называют знаменателем прогрессии. Допустим, первый член равен 2, а знаменатель 3. Тогда получаем 2, 6, 18, 54 и так далее. Наблюдается экспоненциальный рост, который отличает геометрическую цепочку от линейной арифметической. Знаменатель бывает дробным или отрицательным, что расширяет спектр задач. Если q = 1, последовательность вырождается: все члены одинаковы. Именно поэтому на экзамене отдельно уточняют, что q ≠ 1, когда речь идёт о сумме членов.
Главный инструмент при работе с прогрессией — формула общего члена: an = a1·qn-1. Она позволяет перейти от понятия «следующее» к точному номеру. Далее мы рассмотрим, как эта формула помогает решать типичные задания ОГЭ.
Формула общего члена в действии
Ученику важно уметь быстро находить любой член последовательности. Пример из демоверсии: a1 = 5, q = 0,4, требуется a4. Применяем формулу: a4 = 5·0,43. Получаем 5·0,064 = 0,32. Задача закрыта. Типовая ошибка — использовать умножение три раза «вручную» и потерять точность. Формула сразу бьёт в цель.
Иногда просят выразить n через другие величины. Пусть известно, что an = 160, a1 = 10, q = 2. Тогда 10·2n-1 = 160. Делим на 10: 2n-1 = 16. Замечаем, что 16 = 24, значит n – 1 = 4, откуда n = 5. Такая перестановка местами встречается в профильных задачах второй части.
Сумма первых n членов: когда без неё не обойтись
Формулу Sn = a1(qn – 1)/(q – 1) школьники часто забывают, поскольку применяют реже. Однако на ОГЭ встречается задача «сколько всего рублей накопится к концу года». Без суммы прогрессии не справиться. Пример: вклад пополняется каждый месяц, причём сумма удваивается. Первое пополнение 1000 р. Сколько денег внесут за полгода? n = 6, a1 = 1000, q = 2. Подставляем: 1000(26 – 1)/(2 – 1) = 1000·63 = 63 000. Экзаменационный ответ зачастую пугает масштабом числа, но проверка показывает правильность.
Если q меньше единицы, выражение qn стремится к нулю. Тогда сумма выходит ограниченной, что полезно в задачах про затухающие колебания или скидки.
Финансовые модели: проценты, вклады, кредиты
Экспоненциальный рост — любимая модель банкиров. Рассмотрим типичное задание: вклад 20 000 р растёт на 3 % ежемесячно. Какую сумму увидит клиент через 9 месяцев? Знаменатель равен 1,03, a1 = 20 000. Тогда a9 = 20 000·1,038. Остаётся вычислить степень и умножить. Можно пользоваться калькулятором, разрешённым на экзамене, либо логарифмами, если тренируетесь без гаджета.
Кредиты считают иначе: сначала используют геометрическую прогрессию для расчёта аннуитетного платежа, потом составляют баланс задолженности. На ОГЭ таких деталей нет, но знание механизма помогает понимать, откуда берётся «переплата».
Не путайте геометрию с арифметикой
Школьники часто путают прогрессии. У арифметической прибавляют постоянное d, у геометрической умножают на q. Чтобы различать, достаточно взглянуть на отношение второго члена к первому: если a2/a1 постоянно для всех пар соседних членов, значит прогрессия геометрическая. Для арифметической отношение меняется, но разность остаётся постоянной. В заданиях разработчики любят давать смешанные последовательности, где первые три члена подходят и той, и другой. Нужно проверить четвёртый — тогда различие выявляется.
Частые ловушки на ОГЭ
Первая ловушка — знаменатель равный нулю. Такая последовательность не существует, но иногда число q выводится из уравнения и ученик пропускает проверку. Вторая — невнимание к порядку действий: степень возводится раньше умножения. Третья — округление при использовании десятичных степеней. Если рассчитанная степень 1,949, округление до 1,95 может дать ошибку в последнем знаке итогового ответа. На экзамене лучше хранить точность до последнего шага.
- Проверяйте, не равен ли q единице, прежде чем применять формулу суммы.
- Не сокращайте дроби на переменные без учёта знаков.
- Фиксируйте, какой член последовательности является первым в задаче: иногда a0 принимают за старт.
Тренировочный пример с полным разбором
Задание: «Первый член последовательности равен 12, знаменатель – –0,5. Найдите сумму шести первых членов». Решаем по шагам. Сначала определяем, что члены чередуют знак и убывают по модулю: 12, –6, 3, –1,5, 0,75, –0,375. Теперь используем формулу: S6 = 12( (–0,5)6 – 1)/(–0,5 – 1). Вычисляем (–0,5)6 = 0,015625. Числитель получается –0,984375. Знаменатель –1,5. Делим: 0,65625. Наконец умножаем на 12 и получаем 7,875. Ответ записываем как 7,875 или 7,88 при округлении до сотых, если того требует условие. Такой пример учит аккуратно работать с отрицательными знаменателями.
Полезные ресурсы и следующий шаг
Самостоятельная практика — главный ключ к успеху. Решайте сборники ФИПИ прошлых лет, смотрите видеоролики, где автор пошагово объясняет методы. Хорошо помогает программка Desmos: она строит график y = a·qx, позволяя визуально осмыслить рост или спад. Тем, кому нужен системный подход, пригодится онлайн школа «Электронное образование». Её курс подготовки к ОГЭ сочетает живые вебинары, тесты и обратную связь, что ускоряет прогресс.
Изучите геометрическую прогрессию до автоматизма, и вы без страха решите любую задачу, даже если авторы замаскируют её под банковский депозит или рост бактерий. Следующим шагом логично перейти к степенным уравнениям: там активно используются те же свойства степеней, что и при работе с прогрессиями.