В заданиях ОГЭ часто встречается тема «дроби умножение», и она сбивает многих девятиклассников. Вроде бы правила короткие, однако каждый лишний знак порой ведёт к потере баллов. Ниже собран пошаговый разбор, который поможет за вечер привести знания в порядок и уверенно закрыть целый блок теста.
Зачем разбираться в умножении дробей на экзамене
Первая причина — частота. Варианты 2023 года содержали не менее трёх номеров, где требовалось перемножить дроби напрямую или как промежуточную операцию. Вторая — экономия времени: лишние двадцать секунд на задачу складываются в минуты, а их потом не хватает на геометрию. Наконец, уверенное владение техникой умножения дробей подтаскивает за собой навыки сокращения, перевода в проценты и работы с масштабами, что повышает общий балл.
Основные правила: дроби умножение без страха
Базовое правило звучит так: числители перемножаются между собой, знаменатели — между собой. То есть a/b × c/d = ac/bd. Однако важно помнить два аспекта. Во-первых, множители должны быть представлены в правильной дробной форме; любые смешанные числа переводятся в неправильные. Во-вторых, сокращать выгоднее до перемножения, тогда дроби остаются короткими, а калькулятор не нужен. Числитель первой дроби можно сократить с любым знаменателем второй, и наоборот — порядок не играет роли.
Сокращение перед умножением: как экономить усилия
Школьники пытаются сразу умножать, получая громоздкие числа. Этого можно избежать. Алгоритм:
- Разложить все знаменатели и числители на простые множители.
- Найти пары одинаковых факторов в «крест» и смело сокращать.
- После сокращения умножить оставшиеся маленькие числа.
Например, 14/15 × 25/28. Разложение даёт 2·7 / 3·5 · 5·5 / 4·7. Семёрки уходят, один пять сокращается с пятнадцатью, двойка с четырьмя. Итог — 5/3. Операция заняла меньше минуты и не потребовала длинных столбиков.
Смешанные числа и неправильные дроби
Смешанный вид удобен для чтения, но опасен при вычислениях. До умножения переводим: k n/m превращается в (km+n)/m. Затем действуем по обычной схеме. Допустим, 2 1/3 × 4 2/5. Перевод: 7/3 × 22/5. После предварительного сокращения тройка с двадцатью одним не дружит, зато 22 и 3 можно оставить как есть, а 7 и 5 не сокращаются. Получаем 154/15. При желании выводим обратно: 10 4/15. Ответ в любом виде принимается, но предпочтительнее неправильная дробь — так меньше риска допустить ошибку.
Особые случаи: ноль, единица, отрицательные дроби
С нулём всё просто: любой числитель, умноженный на 0, даёт 0, даже если знаменатель огромен. С единицей правило таково: число, умноженное на 1, остаётся тем же, поэтому дробь 1/x можно использовать для деления на x, если нужно сократить. С отрицательными дробями важно помнить знак. Отрицательный множитель меняет знак результата, а два отрицательных его возвращают. Стандартная запись — минус выносится перед всей дробью. Например, −3/4 × 2/5 = −6/20, что после сокращения превращается в −3/10.
Текстовые задачи с умножением дробей
Здесь проверяется не только техника, но и понимание модели. Часто встречаются проценты, которые легко заменить долями: 25 % — это 1/4, 12,5 % — 1/8. Допустим, задача: «От куска ткани длиной 5 м использовали 3/5, а затем от оставшегося — 2/3. Сколько метров ушло?». Решение: 5 × 3/5 × 2/3. Сначала 5 и 5 сокращаются, затем тройки. Остаётся 2 м. Время на вычисление — тридцать секунд, главное правильно составить цепочку множителей.
Типичные ошибки и лайфхаки
Список промахов, набивших оскомину проверяющим:
- Сокращение «по диагонали» с числителем и знаменателем той же дроби. Так делать нельзя, иначе меняется значение.
- Пропуск знака минус при упрощении двойного отрицания.
- Смешивание дробного и десятичного форматов в одном действии.
- Округление промежуточных результатов, что ведёт к погрешности.
Лайфхак: тренируйтесь на маленьких числах, а затем переносите схему на крупные. Мозгу проще, когда принцип уже «отработан» на лёгком материале.
Тренировочный маршрут и полезные ресурсы
Начать стоит с базы ФИПИ: там собраны официальные демонстрационные варианты. Затем переходите к сборникам Ященко, где материал разбит по темам. Не забывайте про онлайн-тренажёры: платформа «Решу ОГЭ» генерирует свежие задачи каждый день. Хотите систематизацию и контроль наставника? Запишитесь на курс подготовки к ОГЭ в онлайн школе: https://el-ed.ru/oge/. Регулярные разборы, домашки с автопроверкой, личный куратор — и дроби перестанут пугать. Финальный совет: держите рядом черновик и прописывайте каждый шаг. Отчётливое письмо снижает риск арифметических промахов и добавляет уверенности на экзамене.